SISTEMAS DE ECUACIONES
1. Resuelve los sistemas siguientes (repaso 2º ESO)
2. Resuelve: (para mañana jueves los tres primeros sistemas)
4 x – 3 y = -19
-3 x – y = -2
|
x +y = 3
2x -3y = -4
|
- x + 3y = -12
x – y = 14
|
3x – 5 y =11
5x – 2y = -7
|
2x – y = 1
x +3y = 10
|
3x + 4 y = 2
-2x -6y = -3
|
7x + 5y = -46
5x + 7y = -50
|
x – 4y = 6
2x +5y = 25
|
4x + 9 y = 5
2x + 3y = 2
|
-7x – 2y = 9
-4x – 3y = 7
|
x + y =3
2x - 3y = -4
|
3x - 5y = 11
5x - 2y = 7
|
3x + 4y = 2
-2x - 6y = -3
|
2x - y = 1
x + 3y = -10
|
-6x
+4y = 29
-5x-6y = -53/2
|
-x
+ 3y = -5
4
2
x-
4y = 4
2
|
x -2 -3(y-2)= -1
3(x-4)-(y-1)= -11
|
2 (x -1) +3(2y-1)= 42
-3(y+4)+4(x-3)=
-11
2 3
|
y+10 -
x +7
=2
2 3
-4 = 2(y-4)
3x
|
x- 2 – y
+1
= 3
2
4
-2(x-3) –(y+1)= -11
|
2. Resuelve: (para mañana jueves los tres primeros sistemas)
a) 2x + y - z = 15
5x - y + 5z = 16
x + 4 y +z = 20
b) x + 2 y + 3z = 1
x + 4 y +z = 20
b) x + 2 y + 3z = 1
y + 2 z = 0
x + 3 y = 1
c) x - y - z = -1
c) x - y - z = -1
2x +y - 3z = 7
x - 3y +2z = 0
d) 2x + z = 2
d) 2x + z = 2
4x + 3y = 1
x - y + z = 2
e) x - y + z = 3
e) x - y + z = 3
2y + 3z = 15
3x + y = 12
f) 3x - y + z = 3
f) 3x - y + z = 3
-y + z = 1
x - 2y - z = 2
g) x + y = 7
g) x + y = 7
y + z = 9
z + x = 8
h) 3x +2y -z = -5/2
h) 3x +2y -z = -5/2
2x - y+2z = 6
x- 2y+2z = 13/2
i) x –y – z = 3
i) x –y – z = 3
3x + y = 12
2y + 3z = 15
j) 4x - y -2z = 10
j) 4x - y -2z = 10
-3x + 4y -z = 10
x+ 2y -3z= 10
k) x+ y -2z = 9
k) x+ y -2z = 9
2x - y + 4z = 4
2x -y + 6z = -1
l) x + 2y +z = 8
l) x + 2y +z = 8
2x -2y - z = -5
x +3y -2z = 1
m) 2x + y - z = 0
m) 2x + y - z = 0
x + 3y - 2z = -1
x - y + 2z = 7
n) x - 2y +3z = -3
n) x - 2y +3z = -3
2x + 3y + z = 6
3x +y - z = 8
ñ) 3x + y - z = 1
ñ) 3x + y - z = 1
2x - y + 2z = 2
x - 3y + 6z = 3
3. Un padre tiene el tripe de edad que su hijo. Dentro de 30 años el hijo tendrá la misma edad que hoy tiene el padre. Halla sus edades en la actualidad.
4. Halla las edades de Ana y su abuela, sabiendo que hace 10 años la edad de la abuela era 4 veces la edad de Ana y dentro de 20 años la edad de la abuela será solamente el doble.
5. Repartir 660 € entre 15 hombres, 20 mujeres y 12 niños, de manera que cada hombre recibe 5 € más que cada mujer y cada mujer 10 € más que cada niño.
6. Al pagar unos amigos la cuenta de la cafetería, se dan cuenta que pagando 6 € cada uno sobran 8 €, mientras que pagando 5€ cada uno, falta 1 €. ¿ cuántos amigos eran y cuál es el importe de la cuenta?
7. Un número tiene dos cifras que suman siete, Si se invierte el orden de colocación de las cifras, resulta otro número que es el doble del anterior más dos. Halla el número.
8. Halla el número de hijos e hijas de una familia sabiendo que al preguntarle a unos de los hijos contestó: " El número de mis hermanos es la mitad del número de mis hermanas". Y preguntada una de la chicas respondió:" yo tengo tantos hermanos como hermanas".
9. Descomponer el número 40 en tres partes tales que, añadiendo a la primera el doble de la segunda y el triple de la tercera se obtenga 90; y quitando a la tercera la primera y añadiendo la segunda resulta 24.
10. Descomponer el número 90 en tres partes tales que, dividiendo la primera entre la segunda se obtenga 3 de cociente y 3 de resto; y dividiendo la segunda por la tercera se obtenga 2 de cociente y 6 de resto.
a) 4x - 3y + 2z = 13
2x + y + z = 4
x + y - 2z = -6
b) x + 3y - 2 z = 1
2x - 2y + z = 8
3x + 2y - 2z = 10
c) x - 2y + 5z = 15
x - 3y + 4z = 20
2x +4y -z = -10
d) x -2y + z = -4
2 3
x + 2y - 4z = 24
x + y + 2z = -2
4 6
e) 3x - 4y +6z = -35
5y + z = 3
5x - 6y - 3z = 34
f) 3x +2y + z = 1
5x + 3y +4z = 2
x + y + z = 1
g) 5x - 3 y - z =1
x + 4 y -6z = -1
2x +3y +4 z = 9
h) 2x -y +2z = 6
3x +2y - z = 4
4x + 3y - 3z =1
13. Resuelve los sistemas no lineales:
14. Un padre tiene un hijo y una hija. La suma de las edades de los tres es 80. El doble de la edad del padre es el triple de la edad del hijo más el doble de la edad de la hija. La edad del hijo más 10 años es igual a la diferencia de edades entre el padre y la hija. ¿Qué edad tiene cada uno?
15. El producto de dos números pares consecutivos es 224. determina los dos números.
16.Un grupo de estudiantes recauda dinero para hacer un regalo a un compañero que ha estado enfermo. A cada estudiante le corresponde pagar 10€, pero como hay 6 estudiantes que no quieren participar, el precio aumenta a 15€. Calcula el importe del regalo y el número de personas que participan.
17. Encuentra dos números cuya diferencia es 12 y que la suma de sus cuadrados sea 3600.
18. Encuentra un número de tres cifras de manera que la suma de sus cifras sea 14, que su producto sea 84 y que el número que se obtenga al invertir sus cifras menos 43 unidades sea 700.
19. Halla un número de tres cifras sabiendo que estas suman 9; que, si del número dado se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, la diferencia es 198, y que la cifra de las decenas es media aritmética de las otras dos.
20. Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 € y un total de 2 000 €. Si el número de billetes de 10 € es el doble que el número de billetes de 20 €, averigua cuántos billetes hay de cada tipo.
21.En una tienda de ropa se liquidan los pantalones que han quedado sin vender en la temporada. Los hay de tres tipos:
– Sin defecto, todos al mismo precio de 20 euros.
– Con defecto no apreciable, con una rebaja del 20% sobre el precio de los anteriores.
– Con defecto apreciable, con una rebaja del 60% sobre el precio de los que no tienen defecto.
Hay 70 pantalones para vender. El precio total de todos ellos es de 1280 euros, y los que tienen defecto suponen el 40% de los que no lo tienen. ¿Cuántos pantalones hay de cada clase? (solución: Hay 50 sin defecto, 15 con defecto no apreciable y 5 con defecto apreciable.)
22. En una clase de segundo de Bachillerato, por cada tres alumnos que estudian Tecnologías de la información, diez estudian Comunicación audiovisual, y por cada dos alumnos que estudian Tecnologías de la información, tres estudian Francés. Calcula el número de alumnos que cursan cada una de las materias mencionadas sabiendo que en la clase hay 35 alumnos y que cada uno de ellos sólo está matriculado en una de las asignaturas (Solución 6 alumnos estudian Tecnología de la información, 20 Comunicación audiovisual y 9 Francés)
23. En una papelería entran tres clientes: el primero compra cuatro lapiceros y seis gomas de borrar y paga 1,60 euros; el segundo compra cinco lapiceros y tres bolígrafos y paga 2,45 euros, y el tercero paga 1,30 euros por cinco gomas de borrar y dos bolígrafos. a) Averigua el precio de cada uno de los productos. b) ¿Cuánto deberá pagar otro cliente por cinco lapiceros, cinco gomas de borrar y diez bolígrafos? (Solución: Cada lapicero cuesta 0,25 €; cada goma de borrar, 0,10 € y cada bolígrafo, 0,40 €. b) 5,75 €.)
24. Halla un número de tres cifras sabiendo que su suma es 12, que la cifra de las unidades es igual a la semisuma de las cifras de las centenas y de las decenas, y que, por último, el número que resulta al invertir las cifras del buscado es 198 unidades más pequeño que este.(Solución: El número buscado es el 624).
25. A 120 alumnos de Secundaria se les subvenciona una excursión con destino a las comunidades de Andalucía, Galicia y País Vasco, con un total de 8 922 €. Se asignan 60 € a cada alumno con destino a Andalucía, 72 € a cada uno que vaya al País Vasco y 90 € a los que se dirigen a Galicia. Además, el total de alumnos que van a las dos primeras comunidades citadas excede en 50 a los que van a Galicia. Halla el número de alumnos que visita cada comunidad.(solución: 29 alumnos a Andalucía, 56 alumnos al País Vasco y 35 alumnos a Galicia)
26. La suma de las edades de un padre y sus dos hijos es de 60 años. Dentro de 10 años, la suma de las edades de los hijos será la actual del padre. Por último, cuando nació el pequeño, la edad del padre era 8 veces la del hijo mayor. ¿Cuántos años tiene cada uno de los hijos? (R: 8 y 12 años)
27. Una empresa ha invertido 73 000 € en la compra de ordenadores portátiles de tres clases A, B y C, cuyos costes por unidad son de 2 400 €, 1 200 € y 1 000 € respectivamente. Sabiendo que, en total, ha adquirido 55 ordenadores y que la cantidad invertida en los de tipo A ha sido la misma que la invertida en los de tipo B, averigua cuántos aparatos ha comprado de cada clase la empresa.(R: 10, 20, 25)
28. En los tres cursos de una diplomatura hay matriculados un total de 350 alumnos. El número de matriculados en primer curso coincide con los de segundo más el doble de los de tercero. Los alumnos matriculados en segundo más el doble de los de primero superan en 250 al quíntuplo de los de tercero. Calcula el número de alumnos que hay matriculados en cada curso. (R: 200, 100, 50 )
29. En la fabricación de cierta marca de chocolate se emplea leche, cacao y almendras, siendo la proporción de leche doble que la de cacao y almendras juntas. Los precios de cada kilogramo de los ingredientes son: leche, 0,8 €; cacao, 4 €; almendras, 13 €. En un día se fabrican 9 000 kg de ese chocolate, con un coste total de 25 800 €. ¿Cuántos kilos se utilizan de cada ingrediente? R: 6 000 kg, 2 000 kg y 1 000 kg, respectivamente
30. En una reunión hay 22 personas, entre hombres, mujeres y niños. El doble del número de mujeres más el triple del número de niños, es igual al doble del número de hombres. Si, además, se sabe que el número de hombres es el doble del de mujeres, ¿cuántos hombres, mujeres y niños hay? R:hay 12 hombres, 6 mujeres y 4 niños
31.En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 helados de distintos sabores: vainilla, chocolate y nata. El presupuesto destinado para esta compra es de 540 euros y el precio de cada helado es de 4 euros el de vainilla, 5 euros el de chocolate y 6 euros el de nata. Conocidos los gustos de los estudiante, se sabe que entre helados de chocolate y de nata se han de comprar el 20% más que de vainilla. R:50 helados de vainilla, 20 de chocolate y 40 de nata
32.
11. En un bar se venden bocadillos de tortilla a 2 € y de jamón a 3 €. Se han vendido 60 bocadillos por lo que ha habido un ingreso de 150 €. ¿Cuántos bocadillos se han vendido de cada clase?
12. Resuelve:
2x + y + z = 4
x + y - 2z = -6
b) x + 3y - 2 z = 1
2x - 2y + z = 8
3x + 2y - 2z = 10
c) x - 2y + 5z = 15
x - 3y + 4z = 20
2x +4y -z = -10
d) x -2y + z = -4
2 3
x + 2y - 4z = 24
x + y + 2z = -2
4 6
e) 3x - 4y +6z = -35
5y + z = 3
5x - 6y - 3z = 34
f) 3x +2y + z = 1
5x + 3y +4z = 2
x + y + z = 1
g) 5x - 3 y - z =1
x + 4 y -6z = -1
2x +3y +4 z = 9
h) 2x -y +2z = 6
3x +2y - z = 4
4x + 3y - 3z =1
13. Resuelve los sistemas no lineales:
x2+3 y =
13
x
+ y = 1
|
x2+
y2 = 5
x .
y = 61/2
|
x = 7- y
x . y = 10
|
|
3x –
y = -9
5 y
= - x2 - 5
|
x2
+ y2 = 10
2x2
– y2 = -7
|
x = 7- y
x . y = 12
|
x2+
y2 = 169
x + y =17
|
y2
-2y=x-1
5 =y+ x1/2
|
x2+
y2 = 169
(x+y)2 = 289
|
x + y = 7
1
+ 1 =7
x y
12
|
x . y = 1200
x =1
y 3
|
x + y = 10
x2+
y2 = 68
|
xy =48
x2+y2 = 100
|
xy=240
x2 y =
360
16
|
x . y = 6
7=y+x2
|
xy =96
2
x2+y2 =(x+y-8)2
|
x2+
y2 = 25
x + y =7
|
20x-16y-xy
=22
x- y =1
|
x-
3y = 12
x2-
y2 = 7
|
x . y = x + y
x+y =5x- 5y
|
x=-2y+1+ y2
x1/2 + y = 5
|
14. Un padre tiene un hijo y una hija. La suma de las edades de los tres es 80. El doble de la edad del padre es el triple de la edad del hijo más el doble de la edad de la hija. La edad del hijo más 10 años es igual a la diferencia de edades entre el padre y la hija. ¿Qué edad tiene cada uno?
15. El producto de dos números pares consecutivos es 224. determina los dos números.
16.Un grupo de estudiantes recauda dinero para hacer un regalo a un compañero que ha estado enfermo. A cada estudiante le corresponde pagar 10€, pero como hay 6 estudiantes que no quieren participar, el precio aumenta a 15€. Calcula el importe del regalo y el número de personas que participan.
17. Encuentra dos números cuya diferencia es 12 y que la suma de sus cuadrados sea 3600.
18. Encuentra un número de tres cifras de manera que la suma de sus cifras sea 14, que su producto sea 84 y que el número que se obtenga al invertir sus cifras menos 43 unidades sea 700.
19. Halla un número de tres cifras sabiendo que estas suman 9; que, si del número dado se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, la diferencia es 198, y que la cifra de las decenas es media aritmética de las otras dos.
20. Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 € y un total de 2 000 €. Si el número de billetes de 10 € es el doble que el número de billetes de 20 €, averigua cuántos billetes hay de cada tipo.
21.En una tienda de ropa se liquidan los pantalones que han quedado sin vender en la temporada. Los hay de tres tipos:
– Sin defecto, todos al mismo precio de 20 euros.
– Con defecto no apreciable, con una rebaja del 20% sobre el precio de los anteriores.
– Con defecto apreciable, con una rebaja del 60% sobre el precio de los que no tienen defecto.
Hay 70 pantalones para vender. El precio total de todos ellos es de 1280 euros, y los que tienen defecto suponen el 40% de los que no lo tienen. ¿Cuántos pantalones hay de cada clase? (solución: Hay 50 sin defecto, 15 con defecto no apreciable y 5 con defecto apreciable.)
22. En una clase de segundo de Bachillerato, por cada tres alumnos que estudian Tecnologías de la información, diez estudian Comunicación audiovisual, y por cada dos alumnos que estudian Tecnologías de la información, tres estudian Francés. Calcula el número de alumnos que cursan cada una de las materias mencionadas sabiendo que en la clase hay 35 alumnos y que cada uno de ellos sólo está matriculado en una de las asignaturas (Solución 6 alumnos estudian Tecnología de la información, 20 Comunicación audiovisual y 9 Francés)
23. En una papelería entran tres clientes: el primero compra cuatro lapiceros y seis gomas de borrar y paga 1,60 euros; el segundo compra cinco lapiceros y tres bolígrafos y paga 2,45 euros, y el tercero paga 1,30 euros por cinco gomas de borrar y dos bolígrafos. a) Averigua el precio de cada uno de los productos. b) ¿Cuánto deberá pagar otro cliente por cinco lapiceros, cinco gomas de borrar y diez bolígrafos? (Solución: Cada lapicero cuesta 0,25 €; cada goma de borrar, 0,10 € y cada bolígrafo, 0,40 €. b) 5,75 €.)
24. Halla un número de tres cifras sabiendo que su suma es 12, que la cifra de las unidades es igual a la semisuma de las cifras de las centenas y de las decenas, y que, por último, el número que resulta al invertir las cifras del buscado es 198 unidades más pequeño que este.(Solución: El número buscado es el 624).
25. A 120 alumnos de Secundaria se les subvenciona una excursión con destino a las comunidades de Andalucía, Galicia y País Vasco, con un total de 8 922 €. Se asignan 60 € a cada alumno con destino a Andalucía, 72 € a cada uno que vaya al País Vasco y 90 € a los que se dirigen a Galicia. Además, el total de alumnos que van a las dos primeras comunidades citadas excede en 50 a los que van a Galicia. Halla el número de alumnos que visita cada comunidad.(solución: 29 alumnos a Andalucía, 56 alumnos al País Vasco y 35 alumnos a Galicia)
26. La suma de las edades de un padre y sus dos hijos es de 60 años. Dentro de 10 años, la suma de las edades de los hijos será la actual del padre. Por último, cuando nació el pequeño, la edad del padre era 8 veces la del hijo mayor. ¿Cuántos años tiene cada uno de los hijos? (R: 8 y 12 años)
27. Una empresa ha invertido 73 000 € en la compra de ordenadores portátiles de tres clases A, B y C, cuyos costes por unidad son de 2 400 €, 1 200 € y 1 000 € respectivamente. Sabiendo que, en total, ha adquirido 55 ordenadores y que la cantidad invertida en los de tipo A ha sido la misma que la invertida en los de tipo B, averigua cuántos aparatos ha comprado de cada clase la empresa.(R: 10, 20, 25)
28. En los tres cursos de una diplomatura hay matriculados un total de 350 alumnos. El número de matriculados en primer curso coincide con los de segundo más el doble de los de tercero. Los alumnos matriculados en segundo más el doble de los de primero superan en 250 al quíntuplo de los de tercero. Calcula el número de alumnos que hay matriculados en cada curso. (R: 200, 100, 50 )
29. En la fabricación de cierta marca de chocolate se emplea leche, cacao y almendras, siendo la proporción de leche doble que la de cacao y almendras juntas. Los precios de cada kilogramo de los ingredientes son: leche, 0,8 €; cacao, 4 €; almendras, 13 €. En un día se fabrican 9 000 kg de ese chocolate, con un coste total de 25 800 €. ¿Cuántos kilos se utilizan de cada ingrediente? R: 6 000 kg, 2 000 kg y 1 000 kg, respectivamente
30. En una reunión hay 22 personas, entre hombres, mujeres y niños. El doble del número de mujeres más el triple del número de niños, es igual al doble del número de hombres. Si, además, se sabe que el número de hombres es el doble del de mujeres, ¿cuántos hombres, mujeres y niños hay? R:hay 12 hombres, 6 mujeres y 4 niños
31.En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 helados de distintos sabores: vainilla, chocolate y nata. El presupuesto destinado para esta compra es de 540 euros y el precio de cada helado es de 4 euros el de vainilla, 5 euros el de chocolate y 6 euros el de nata. Conocidos los gustos de los estudiante, se sabe que entre helados de chocolate y de nata se han de comprar el 20% más que de vainilla. R:50 helados de vainilla, 20 de chocolate y 40 de nata
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